Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

При «Исключением» являются , или .

(При «Исключением» являются, например, или ,при которых а = 2 ивыполняется тождество(этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43)являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

a = α2 – δ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

c = α3 + 3αδ2 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

b = 3α2δ + δ3 - четное число при α и δ – нечетных или четных.

(Такой же результат получается (a, c, b – четные числа) для любого уравнения

(42), где - натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a3 = c2 - b2.

«Исключением» являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

при которых получаем соответственно тождества:

1. 23 ≡ (±3)2 – (±1)2

2. (-2)3 ≡ (±1)2 – (±3)2

**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателяпростом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при простом. Имея дело с уравнением (44) , гдепростое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам ‌‌| a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).

Вывод: Великая теорема Ферма для степенипростом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение (- четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

Часть первая(Утверждения 2)

Уравнение (- четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Доказательство

Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числаa, b, c (если, конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует: => (2).

Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β – нечетное число при cи b- нечетных.

*********

Примечание

То, что β в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1,

где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда

b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

 Скачать реферат