Основная теорема алгебры
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
4. Доказательство основной теоремы
5. Список используемой литературы
1. ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена Основной теореме Алгебры, изучению существования корней в поле . Как
предположение эта теорема впервые встречается у немецкого математика Питера Роуте(1617г.). Д’Аламбер первым в 1746г. опубликовал доказательство этой теоремы. Его доказательство основывалось на лемме. Доказательство это было бы совершенно строгим, если бы Д’Аламбер мог доказать, что-то на комплексной плоскости значение модуля многочлена достигает наименьшего значения. Во второй половине 18 века появляются доказательства Эйлера, Лапласа, Лагранжа и других. Во всех этих доказательствах предполагается заранее, что какие-то "идеальные" корни многочлена существуют, а затем доказывается, что, по крайней мере, один из них является комплексным числом. Со времен доказательства теоремы в алгебре было открыто очень много нового, поэтому сегодня "основной" эту теорему назвать уже нельзя: это название теперь является историческим.
Целью моей работы является выявления, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Для доказательства Основной теоремы Алгебры я использовала ряд лемм: лемма Даламбера и лемма о достижении точной нижней грани значений.
При написании работы мною была использована следующая литература: Д.К.Фадеев "Лекции по алгебре", Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа". А.Г.Курош "Курс высшей алгебры".
2. Основные определения, используемые в курсовой работе
Множества, удовлетворяющие требованиям:1-операция сложения,2-операция умножения,3-связь операций сложения и умножения, и содержащие хотя бы один элемент, отличный от нуля, называется полями.
Множество комплексных чисел можно определить как множество упорядоченных пар
действительных чисел,
,
, в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению:
В результате этого определения множество указанных пар превращается в поле, т.е. удовлетворяет условиям 1,2,3. Полученное таким образом поле, называется полем комплексных чисел.
Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа.
Последовательность называется подпоследовательностью
, если для любого k существует такое натуральное
, что
=
, причем
Б
тогда и только тогда, когда
.
Комплексное число – расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма
, где x и y— вещественные числа, i— мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению
.
Вещественное число (действительное число) – любое положительное число, отрицательное число или нуль.
Функция – 1) Зависимая переменная величина; 2) Соответствие между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение величины y (зависимой переменной или функции в значении 1).
Теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Последовательность называется ограниченной на множестве Е, если существует такая постоянная М>0, что для всех и всех
выполняется неравенства
Последовательность сходится к функции f равномерно на множестве Е, если для любого существует такой номер
, что если
, то для всех
выполняется неравенство
. Последовательность называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция f, к которой она равномерно сходится на Е.
3. Элементы теории пределов для комплексных чисел
В моей работе полиномы рассматриваются только над полями и
как функции от комплексной или вещественной переменной, так что моя работа является скорее главой математического анализа, а не алгебры, хотя теорема о существовании корня у любого отличного от константы полинома с комплексными коэффициентами (т.е. установление алгебраической замкнутости поля
) носит название основной теоремы алгебры.
Определение: Пусть задана последовательность комплексных чисел . Число
называется ее пределом, если для любого действительного числа
существует такой номер
, что при
выполняется неравенство
. В этом случае пишут lim
, а=lim
, b=lim
. Предельное соотношение lim
=c равносильно соотношению
, ибо
Другие рефераты на тему «Математика»:
- Решение военно-логистических задач по выбору оптимального маршрута для военно-транспортных средств
- Теорема Бернулли. Закон распределения Пуассона. Критерий Колмогорова
- Метод конечных разностей или метод сеток
- Развитие математики в России в середине XVIII века
- Матемитические основы моделирование 3d объектов
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах