Некоторые приложения дифференциального исчисления

Если перейти к прямоугольным координатам, взяв полюс за начало, а полярную ось - за ось х, то уравнения

x = r cos =f() cos, у=rsin=f(th=13 height=19 src="images/referats/663/image186.gif">)sin

дадут параметрическое представление нашей кривой, причем роль параметра здесь будет играть полярный угол.

Формулы:

Показывают, что особая точка может встретится лишь в том случае, если

Длина плоской кривой

Пусть имеем (незамкнутую или замкнутую) плоскую кривую АВ, заданную параметрически уравнениями:

,

где функции и здесь предполагаются непрерывными. Пусть кратных точек на кривой нет, так что каждая точка получается лишь при одном значении параметра t. При этих предположениях кривую будем называть непрерывной простой кривой.

Точка А отвечает значению параметра t=t0, а точка B-значению t=T. Точка А называется начальной, а точка B конечной точкой кривой. Из двух отличных от A и B та считается следующей, которая отвечает большему значению параметра.

Возьмем на кривой ряд точек: А = М0, М1 ,М2 , ., Мi ,Mi+1,…, Мn = В так, чтобы они шли в указанном возрастающим значениям параметра t0 <t1<t2<…<ti<ti+1<…<tn.

Рис. 16

Соединяя эти точки последовательно прямолинейными отрезками (рис. 16), мы получим ломаную М0М1 . Мn-1 Мn вписанную в кривую АВ.

Длиной кривой АВ, называется точная верхняя граница S для множества периметров р всевозможных вписанных в кривую ломаных: S=Sup{p}.

Если это число S конечно, то кривая называется спрямляемой.

Пусть функции и имеют непрерывные производные и на . Тогда длина дуги вычисляется по формуле или (1)

Если кривая задана полярным уравнением r = g(), то это равносильно заданию ее параметрическими уравнениями

х = r cos, у = rsin,

где параметр - ; дуга будет функцией от: s = s(). Так как

То

и формула (1) примет вид:

Кривизна плоской кривой.

Пусть дана простая кривая x = (t), y = (t) (t0) , (1)

где функции и предполагаются непрерывными вместе со своими производными первого и второго порядка.

Рис. 17

Пусть , есть дуга кривой; рассмотрим касательные МТ и M1T1 проведенные в конечных точках этой дуги. Кривизну кривой будем характеризовать углом поворота касательной, рассчитанным на единицу длины дуги, т.е. отношением , где угол измеряется в радианах, а длина - в выбранных единицах длины. Это отношение называют средней кривизной дуги кривой.

Кривизной кривой в точке М называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги MM1 ,когда точка М1 вдоль по кривой стремится к М.

Кривизну кривой в данной точке обозначаем буквой k:

Возьмем на участке кривой точку М, и пусть ей отвечает значение s дуги. Придав s произвольное приращение , получим другую точку (рис. 18). Приращение угла наклона касательной при переходе от М к М1 даст угол между обеими касательными:

Рис. 18

Так как, то средняя кривизна будет равна

Устремив MM1 = к нулю, получим выражение для кривизны кривой в точке М:

(2)

Перепишем формулу (2) иначе:

(3)

. Нужно найти . Так как

и , то

Подставив в (3) значения и получим конечную формулу:

(4)

Если кривая задана явным уравнением y=f(x), то эта формула принимает вид:

 Скачать реферат