Нестандартные методы решения задач по математике

Рефераты / Математика / Нестандартные методы решения задач по математике

Следствие 31 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций и , то уравнения и равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция является четной.

Теорема 32 Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке и (), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 33 Решить уравнение

где квадратный корень берется раз ().

Решение. Из условия задачи следует, что . Пусть , тогда уравнение принимает вид функционального уравнения .

Так как при функция возрастает и , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , положительным решением которого является .

Ответ: .

Пример 34 Решить уравнение

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения типа , т.е.

где .

Поскольку для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.

Ответ: .

Пример 35 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Отсюда получаем уравнение

Пусть , тогда уравнение принимает вид

Так как функция является убывающей на всей числовой оси , то (согласно Следствию ) уравнение равносильно уравнению , т.е. уравнение равносильно уравнению . Отсюда следует уравнение , которое имеет единственный действительный корень .