Нестандартные методы решения задач по математике

Рефераты / Математика / Нестандартные методы решения задач по математике

Следствие 26 Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения и равносильны.

Более сложным является решение уравнения в том случае, когда на некотором отрезке функция является убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы и двух следствий только при условии, что в уравнении число нечетное.

Теорема 27 Если --- убывающая функция на отрезке , --- нечетное и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е.

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , , и т. д.

Так как --- нечетное, то

Поскольку , то из последнего неравенства получаем .

Так как --- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы , следует справедливость теоремы .

Следствие 28 Если функция убывает для любого и --- нечетное, то уравнения и равносильны.

Следствие 29 Если функция убывает на своей области определения и --- нечетное, то уравнения и равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение с убывающей функцией и нечетным равносильно уравнению , то уравнение также имеет не более одного корня.

Если в уравнении --- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения и не являются равносильными. Например, уравнение имеет три корня , , и только третий корень удовлетворяет уравнению .

В данном случае для поиска корней уравнения необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 30 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть --- корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .