Нестандартные методы решения задач по математике

Ответ: , .

Пример 45 Решить уравнение

Решение. Очевидно, что областью допустимых значений уравнения являются . Умножим обе части уравнения на , тогда получаем

Решением уравнения являются , и . Однако --- посторонний корень для уравнения , поскольку при этом значении левая часть уравнения равна , а правая меньше . Так как , то не может быть корнем уравнения . В этой связи --- единственное решение исходного уравнения .

Ответ: .

Пример 46 Решить уравнение

Решение. Обозначим и , тогда из уравнения получаем систему двух уравнений относительно переменных , вида

где и .

Преобразуем левую часть второго уравнения системы следующим образом:

Так как , то . Отсюда получаем или . Рассмотрим две системы

Корнями первой системы являются , и , , а вторая система решения не имеет. Следовательно, или . Отсюда получаем два уравнения относительно переменной вида и . Первое уравнений корней не имеет, а из второго следует и . Ответ: , .

Пример 47 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение , используя свойство пропорции: если , то . Тогда уравнение можно переписать как

Поскольку , то из уравнения получаем ; т.е. и .

Так как уравнения и равносильны, то решением уравнения являются и .

Ответ: , .

Пример 48 Доказать неравенство

где и .

Доказательство. Доказательство неравенства будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения и , что и , при которых выполняется неравенство

Из неравенства получаем

Так как , и , то из неравенства следует

 Скачать реферат