Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре

Т. к.

, то ,.

Итак, (ABMN) = (CDPQ).

Пусть (ABMN) = (CDPQ). Докажем, что .

Рассмотрим

;

тогда

,

Рассмотрим

;

тогда

, .

Рассмотрим , где , (OF) - касательная из точки О к с. Тогда , , .

Покажем, что .

Имеем , , тогда (ABMN) = (CPQ).

Учитывая условие теоремы, получаем (CDPQ) = (C), откуда , т.е. D и принадлежат окружности Аполлония (), которая пересекает с в единственной точке, поэтому .

Итак, существует неевклидово движение , такое, что т.е. .

Замечание 2. Критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре.

Пусть - евклидова величина неевклидова угла (а,b), - евклидова величина неевклидова угла (c, d).

.

Доказательство.1) Пусть , тогда существует неевклидово движение :

Т. к. - это конечная цепочка инверсий, а инверсия сохраняет величину углов, то .

2)

Пусть . Рассмотрим неевклидово движение , такое, что .

Пусть . Если окажется по отношению к неевклидову лучу с в той же полуплоскости, что и d, то , т.к инверсия сохраняет величину углов.

Если же окажется в другой полуплоскости относительно луча с, то рассмотрим инверсию .

Т.к. с - является биссектрисой угла (), то .

Имеем неевклидово движение , такое, что , , откуда .

Вернёмся к проверке аксиом конгруэнтности. . Пусть [AB] [UV], [CD] [UV]. Покажем, что .

Т.к. [AB] [UV], то (ABMN) = (UVLK) (1)

Т. к. [CD] [UV], то (CDPQ) = (UVLK) (2)

Из (1) и (2) имеем (ABMN) = (CDPQ), откуда

(см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть имеет место ABC и , и ,

. Покажем, что .

Т.к. , то (1)

Т.к. , то (2)

Перемножив (1) и (2), получим , откуда (см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).

. Пусть дан и луч [Aa) с указанной полуплоскостью. Покажем, что существует единственный луч [Ab) в указанной полуплоскости, такой, что ; и каждый угол конгруэнтен самому себе.

Пусть - евклидова величина неевклидова угла (u,v).

 Скачать реферат