Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре

Отношение „лежать между" будем понимать в обычном евклидовом смысле для точек полуокружности и луча.

Аксиомы выполняются на модели, т.к они справедливы для евклидовых точек, евклидовы

х полуокружностей и лучей.

Проверим выполнимость аксиомы .

Пусть даны Л - точки А, В, С, такие, что; и Л - прямая а такая, что

Пусть, далее , и имеет место ADB. Покажем, что на Л - прямой a существует Л - точка F такая, что имеет место либо BFC, либо AFC.

Доказательство следует из теоремы: две евклидовы окружности пересекаются тогда и только тогда, когда одна из них проходит через внутреннюю точку другой окружности.

В самом деле, т.к имеет место ADB, то одна из точек А или В по отношению к окружности а внутренняя, пусть это точка В. Тогда, если точка С лежит вне окружности а, то имеет место BFC; если точка С лежит внутри окружности а, то имеет место AFC.

Замечание. На следующих рисунках представлена интерпретация отрезка, луча, угла, треугольника в плоскости Лобачевского.

[AB]

[Aa)

(a,b)

ΔАВС

Прежде чем определить отношение „быть конгруэнтными", введём понятие неевклидова движения.

Пусть Л - прямая а задана в виде евклидовой полуокружности.

Симметрией Л - плоскости относительно Л - прямой а назовём инверсию евклидовой полуплоскости относительно евклидовой полуокружности.

Если Л - прямая а задана в виде евклидова луча, то будем иметь симметрию относительно евклидовой прямой.

Неевклидовым движением назовём конечную цепочку симметрий Л - плоскости относительно Л - прямых.

Будем говорить, что [AB] [CD], если существует неевклидово движение : (A) =C,

(B) =D.

если существует неевклидово

движение :

(а) =с,

(b) =d.

Проверим выполнимость аксиом конгруэнтности.

Пусть дан Л - отрезок uv и Л - луч Аа. Докажем, что

1) на [Aa) существует Л - точка В такая, что [AB] [uv] ;

2) [AB] [BA].

рис. 1

Рис.2

Рассмотрим

;

тогда

Рассмотрим

,

тогда

.

Рассмотрим

где ,

(OF) - касательная из точки О к а, тогда

(),

Из , то цепочку симметрий оборвём и (см. рис.1).

Если , то рассмотрим ещё одну симметрию

-

касательная к а в точке А (см. рис.2).

Итак, имеем неевклидово движение , преобразующее u в А, v в В, т.е.

[AB] [uv].

Докажем, что [AB] [BA].

Рассмотрим

, где

- касательная из точки к а, тогда а=I (a), B=I (A), A=I (B).

Итак, имеем неевклидово движение , преобразующее

А в В, В в А, т.е. [AB] [BA].

Прежде чем продолжить проверку аксиом конгруэнтности, рассмотрим

Замечание 1. Критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре.

Рассмотрим упорядоченные четвёрки точек A, B, M, N и C, D, P, Q.

Доказательство.1) Пусть . Докажем, что (ABMN) = (CDPQ).

Т.к. , то существует неевклидово движение , такое, что . Остаётся показать, что . Учитывая, что - конечная цепочка инверсий с центрами на f, и каждая инверсия сохраняет величину угла, имеем .

 Скачать реферат