Теория вероятности

№ 1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет одинаковое число очков на обеих костях, и вероятность того, что на обеих костях выпадет четное число очков.

Решение

Событие А – выпало одинаковое число очков на обеих костях

Р (А) =

n = 62 = 36

Исходы у А:

{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } = 6 = m

Р (А) = = 0,17

Событие В – выпадет на обоих костях четное число очков

m = { (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4),(4,6), (6,2), (6,4), (6,6) } = 9

Р (В) = 0,25

Ответ:

Р (А) 0,17 , Р (В) = 0,25.

№ 2. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад извлекают 4 шара. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы два черных шара?

Решение: Событие С – извлекли из урны хотя бы два черных шара, т.е. или два, или три, или четыре

Р (С) =

N = = = = 210

Пусть событие С1 – из четырех шаров два черных шара

М1 = = = = 90

Пусть событие С2 – извлекли из четырех шаров три черных шара

М2 = = =

Пусть событие С3 – извлекли все 4 черных шара

М3 = = 1

Так как события С1, С2, С3 – несовместные, то по теореме сложения вероятностей :

Р(С) = Р(С1) + Р(С2) + Р(С3)

Р(С) =

Ответ:

Р (С) = 0,88

№ 3. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина?

Решение:

Вероятность мужчин 5:

100 = 0,05

Вероятность женщин 0,25:

100 = 0,0025

Р(А) = Р(А1) ∙ Р(Ā2)

Событие А – вероятное лицо мужчина

Событие А1 – дальтоник мужчина

Событие А2 – дальтоник женщина

Р(Ā2) = 1 – 0,0025 = 09975

Р(А) = 0,05 ∙ 0,09975 = 0,0049875

Ответ:

Р(А) = 0,0049875.

№ 4. В некотором семействе 8 детей. Вероятность рождения мальчика или девочки равна 0,5. Найти вероятность того, что

а) имеется 4 мальчика и 4 девочки;

б) число мальчиков заключено между 2 и 6 (включительно).

Решение:

Применим формулу Бернулли:

Рn(k) = ,

Где Рn(k) – вероятность того, что среди n-детей ровно k- мальчиков.

а) Р8(4) = 0,00390625∙

= 0,2734375≈ 0,27.

б) Число мальчиков заключено между 2 и 6, то есть 2 или 3, или 4, или 5,или 6.

Р8(2) = ≈ 0,11

Р8(3) = = 0,21875

Р8(4) = 0,27

Р8(5) = = 0,21875

Р8(6) = = 0,11

Р[2;6](А) = 0,11+0,21875+0,27+0,21875+0,11 = 0,9275

Ответ:

а) Р8(4) =0,27,

б) Р[2;6](А) = 0,9275.

№ 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х. найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение. Построить график функции распределения вероятностей случайной величины Х.

Решение:

m(x) = ∑ xipi = 10,6 ∙ 0,3+20,6 ∙ 0,3+21 ∙ 0,2+21,6 ∙ 0,1+22,4 ∙ 0,1 =

= 9,36+4,2+4,4 = 17,96

Дисперсия

D(x) = m²( x) - (m( x))²

m²( x) = ∑ xi ²pi = 10,6² ∙ 0,3+20,6 ²∙ 0,3+21² ∙ 0,2+21,6 ²∙ 0,1+22,4² ∙ 0,1=

= 33,708+127,308+88,2+46,656+50,176 = 346,048

D(x) =346,048 – (17,96)² = 346,048 – 322,5616 = 23,4864

Среднее квадратичное отклонение

𝜎(x) = = ≈ 4,846

Функция распределения следующих величин Х

F(x) =

№ 6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения. Требуется: а) найти плотность распределения; б) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение; в) построить графики функций распределения и плотности распределения вероятностей.

Решение:

а) найдем плотность распределения

б) m(x)= =2 =

= 2= 2=

= 2= =

D(x)=m(x²)- m²(x)

m(x²) = = 2= =

= 2=

= 2=2=

=

D(x)=m(x²)- m²(x) = =

𝜎(x) = =

в) График функции распределения:

График плотности распределения:

№ 7. Для оценки вероятности появления дефектов были обследованы детали, выпускаемые некоторой производственной линией. Среди них было обнаружено k- дефектных деталей. Построить доверительный интервал для истинной вероятности появления дефектной детали с доверительной вероятностью, равной

0,95; n=100; k=10.

Решение:

γ= 0,95

Ф(t) = = 0,475 t = 1,96

x= = 0,1

n = 100

доверительный интервал:

0,1 – 1,96·

№ 8. Дисперсия случайной величины X равна �_². С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на величину ε. Параметры

𝜎²=1,2; ε=1,8.

Решение:

Р(- неравенство Чебышева

Р(0,37

№ 9. Математические ожидания и дисперсии независимых величин X и Y равны mx, Dx и my, Dy. Вычислить математическое ожидание и дисперсию функции Z = 2XY- 9. Исходные данные

mx=-5; , Dx= 5; my= 3; Dy=4.

Решение:

Величины X и Y – независимы,

D(t) = D(2XY- 9) = 2² D(X)· D(Y) - D(9) = 4·5·4 – 0 = 80

m(t) = m(2XY- 9) = 2 m(X)· m(Y) - m(9) =2·(-5)·3- 9= - 39

№ 10. По данным выборке случайной величины X вычислить все основные эмпирические характеристики: Математическое ожидание mx*; Дисперсии D*; несмещенную дисперсию S²; среднее квадратическое отклонение 𝜎x*; построить доверительный интервал для математического ожидания, построить доверительный интервал для дисперсии.

Решение:

Математическое ожидание

= =

= )² , где = (x1+x2+…+xn)

=

S= x1+x2+…+xn

= 2·2,56+2·2,25+5,76+6,76+24,01+2·10,24+1+0,01+7,84+2·0,09+0,64+64+4+10,89+12,96+0,36+49+1,44+2·0,49+4,41+18+56,25+1,44+26,01+32,49+2·20,25+92,16+16+53,29+6,25+4,41+7,29+0,09+2·24,01+0,01+0,04+2,25+3,24+0,25+4,41+0,81+0,04+1,21+0,16+27,04+0,25+2,89+1,44=670,58

D= - (2,528)² = 11,176 – 6,3914,785

𝜎(x) = 2,188.